一、定义

• 设U⊂ℝn，给定函数f:U→ℝ，p∈U，f在p点的第i偏导数定义为

   Dif(p)=limt→0(f(p+t**e**i)-f(p))/t=(f∘c)'(0)，其中c为过点p的方向为**e**i的线c(t)=p+t**e**i。
  

• 在数学中，一个多变量的函数的偏导数，就是它关于其中一个变量的导数而保持其他变量恒定（相对于全导数，在其中所有变量都允许变化）。偏导数的表示符号为:∂。

二、几何意义

• 表示固定面上一点的切线斜率。
• 偏导数 f'x(x0,y0) 表示固定面上一点对 x 轴的切线斜率；偏导数 f'y(x0,y0) 表示固定面上一点对 y 轴的切线斜率。
• 高阶偏导数：如果二元函数 z=f(x,y) 的偏导数 f'x(x,y) 与 f'y(x,y) 仍然可导，那么这两个偏导函数的偏导数称为 z=f(x,y) 的二阶偏导数。二元函数的二阶偏导数有四个：f"xx，f"xy，f"yx，f"yy。

📌注意：

 f"xy与f"yx的区别在于：前者是先对 x 求偏导，然后将所得的偏导函数再对 y 求偏导；后者是先对 y 求偏导再对 x 求偏导。当 f"xy 与 f"yx 都连续时，[求导](<https://baike.baidu.com/item/%E6%B1%82%E5%AF%BC>)的结果与先后次序无关。

三、多元函数的极值最值

定理1 (必要条件)

函数$z=f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$存在偏导数，且在该点取得极值，则

$f 'x (x0 , y0 ) = 0 , f'y (x0 , y0 ) = 0$

（该定理说明偏导数存在并且不等于0的点一定不是极值）

• 证明

📌注：

1. 几何意义:极值点处的切平面平行于xoy平面
2. 使一阶偏导数同时为零的点，称为函数的驻点